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Análisis Matemático 66

2025 GUTIERREZ (ÚNICA)

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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)

Práctica 8: Teorema de Taylor

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5. Obtenga el polinomio de Taylor de orden nn de las siguientes funciones en x0=0x_{0}=0
c) f(x)=sen⁡xf(x)=\operatorname{sen} x

Respuesta

Este item lo vamos resolver con razonamientos muy parecidos al anterior. En este caso el Taylor de orden nn centrado en x=0x=0 que queremos encontrar el de la función f(x)=sen⁡xf(x)=\operatorname{sen} x

Al igual que en el anterior, las derivadas de f(x)=sin⁡x f(x) = \sin x también son cíclicas y se repiten cada 4 derivadas. 
f(x)=sin⁡x f(x) = \sin x f′(x)=cos⁡x f'(x) = \cos x f′′(x)=−sin⁡x f''(x) = -\sin x f′′′(x)=−cos⁡x f'''(x) = -\cos x f(4)(x)=sin⁡x f^{(4)}(x) = \sin x Y así sucesivamente. Y sus valores evaluados en x0=0 x_0 = 0 son: f(0)=sin⁡(0)=0 f(0) = \sin(0) = 0 f′(0)=cos⁡(0)=1 f'(0) = \cos(0) = 1 f′′(0)=−sin⁡(0)=0 f''(0) = -\sin(0) = 0 f′′′(0)=−cos⁡(0)=−1 f'''(0) = -\cos(0) = -1 f(4)(0)=sin⁡(0)=0 f^{(4)}(0) = \sin(0) = 0

En este caso, a diferencia del anterior, las derivadas pares son nulas y sólo debemos quedarnos con las derivadas de orden impar. Además, tenemos que asegurarnos que, al escribirlo de manera general, las derivadas impares evaluadas en x=0x=0 vayan alternando entre −1-1 y 11. Una manera de escribir esto de forma general es así:

p(x)=x−x33!+x55!−…+(−1)kx2k+1(2k+1)! p(x) = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \ldots + (-1)^k\frac{x^{2k+1}}{(2k+1)!}

Donde acá el orden del polinomio es n=2k+1n = 2k+1

Es muy parecida al anterior, con la diferencia que ahora pusimos 2k+12k+1 para asegurarnos que, para cada kk natural, obtengamos siempre un número impar (antes habíamos puesto 2k2k para obtener siempre números pares) Probá desde k=0k=0 en adelante, y convencete que va cumpliendo con los primeros términos y con los que siguen :)
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